Riemannsche Flächen

WS 18/19

Raum: SR 127;     Zeit: Fr. 14-16Uhr

NEU:  Es finden auch Übungen statt!

Inhalt: Die Theorie der Riemannschen Flächen spielt eine spezielle Rolle in der Mathematik und liegt in der Überschneidung der Topologie, der Analysis, der algebraischen Geometrie, der Riemannschen Geometrie und der mathematischen Physik. Riemannsche Flächen sind historisch entstanden als der natürliche Definitionsbereich zunächst mehrdeutiger Funktionen wie etwa des Logarithmus oder der Wurzelfunktion. Das Ziel dieser Vorlesungsreihe ist es, eine Einführung in dieses vielfältige und schöne Gebiet der Mathematik zu liefern.
Notwendige Vorkentnisse: Funktionentheorie. Bekanntschaft mit der Topologie und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen kann hilfreich sein, ist aber nicht notwendig.

Literatur

[D] Donaldson. Riemann surfaces.
[FK] Farkas, Kra. Riemann surfaces.
[F] Freitag. Funktionentheorie 2.
[J] Jost. Compact Riemann surfaces.
[K] Kirwan. Complex algebraic curves.

Übungen zur Riemannschen Flächen

Raum: SR 119 (Ernst-Zermelo-Str. 1).
Zeit: Di. 16-18Uhr (jede zweite Woche, erstes Tutorium am 23.10).

Übungsblatt 1 (Abgabetermin: 2.11.18, 10Uhr)
Übungsblatt 2 (Abgabetermin: 16.11.18, 14Uhr)
Übungsblatt 3 (Abgabetermin: 30.11.18, 14Uhr)
Übungsblatt 4 (Abgabetermin: 14.12.18, 14Uhr)

Seminar Eichtheorie

WS 17/18

Raum: SR 404, Eckerstr. 1;     Zeit: Do. 14-16Uhr

Inhalt: In der Mathematik bezeichnet man durch Eichtheorie Beschreibungen von Strukturen auf Vektor- sowie Hauptfaser-bündeln. In rahmen dieses Seminars werden wir uns hauptsächlich mit Seiberg-Witten Eichtheorie beschäftigen, die Einsicht in Topologie und Geometrie von 4-Mannigfaltigkeiten liefert. Zum Beispiel, mit Hilfe der Seiberg-Witten Eichtheorie kann man zeigen, dass es glatte 4-Mannigfaltigkeiten existieren, die homöomorph aber nicht diffeomorph sind. Sofern die Zeit erlaubt, werden wir auch einen Blick auf die Theorie von Donaldson werfen, die auch viele Anwendungen in der Topologie von 4-Mannigfaltigkeiten hat.
Notwendige Vorkentnisse: sicherer Umgang mit Mannigfaltigkeiten, Bekanntschaft mit Differentialgeometrie und/oder partiellen Differentialgleichungen ist hilfreich aber nicht notwendig.
Vorbesprechung: Fr., 21.07.2017, 10-12Uhr im SR 318 (Eckerstr. 1)

Vorträge

Nr Datum Thema Vortragender
1 19.10 Clifford Algebras and Spin groups [M, Ch.2], [H, 2.1] Thomas Beisitzer
2 27.10 Sobolev Spaces and elliptic differential operators Andriy Haydys
3 02.11 De Rham cohomology and Hodge theory [J, 11.1, 11.2, 12.2-12.6] Wladimir Chernow
4 09.11 Vector bundles and characteristic classes (survey). [M2, 1.5, 1.6, 1.9] Andriy Haydys
5 16.11 Principal bundles, connections and curvatures, gauge group action. [DK, 2.1.1, 2.1.2; KN II.1, II.2, II.5] Andriy Haydys
6 23.11 Associated vector bundles and connections, the Levi-Civita connection, Riemannian curvature tensor, scalar curvature [KN III.1, III.2, III.5, IV.2; M 3.2] Andriy Haydys
7 30.11 Spin and Spinc bundles, Dirac operators. [M 3.1, 3.2 (from "Connections on Spin bundles"), 3.3] Evgenij Pascual
8 07.12 The Seiberg-Witten moduli space [M, Ch.4] Andreas Ikkert
9 14.12 Compactness of the Seiberg-Witten moduli space. [M, Ch. 5] Andreas Ikkert
10 21.12 Transversality and orientability of the Seiberg-Witten moduli space [M, 6.1-6.6] Andriy Haydys
11 18.01 Intersection form and a Theorem of Donaldson [M2, 3.5 & 3.6] Evgenij Pascual
12 25.01 The Seiberg-Witten invariant [M 6.7-6.8] Andriy Haydys

Literatur

[DK] Donaldson, Kronheimer. Geometry of four-manifolds.
[F] Freed. Geometry of Dirac operators. Available online
[H] Haydys. Dirac operators in gauge theory. Available online
[J] Jänich. Vector Analysis.
[KN] Kobayashi, Nomizu. Foundations of differential geometry, I.
[M] Morgan. The Seiberg-Witten equations and applications to the topology of smooth four-manifolds.
[M2] Moore. Lecture Notes on Seiberg-Witten invariants.